而典型的四元数z有矩阵形式：
然而，这种将四元数表示为矩阵的方法不是唯一的。其实，复数的矩阵表达也有其他等价的形式。甚至，表示四元数还可以不用复数，只不过这要以使用更大的矩阵为代价：四元数可以表示为某些只含有实数的4?4矩阵。
有时我们需要进行一些运算，其结果却不能被现有的数系所容纳。对这类计算的需求催生了新类型的数和对旧系统的推广。每个文明都是从自然数开始的，涉及数的片段的计算产生了分数，涉及债务的计算引出了负数，以及正如毕达哥拉斯发现的，涉及长度的计算产生了无理数。并非所有关于数的事务都能用整数以及它们的比值来处理，虽然这一发现已经十分久远，但这个事实依然深刻又微妙。随着科学变得越来越复杂，所需要的数的系统也必须成熟起来，才能处理这些进展。科学家们一般不会异想天开地主动创造新的数系，相反，在一开始，这些新数常常是被不情愿地、犹豫不决地引进来，用以应付科研中遇到的难题。例如，虽然在19世纪就被引入，但矩阵直到20世纪初才在量子力学中取得了不容置疑的地位。当时的科学家们遇到了一个形如q=AB-BA却又不为0的量。在其他可交换的数系中，q当然会是0，因此这里需要的是一种他们以前从没遇到过的数值对象：它们是矩阵。